概要

本章介绍伸展树。它和"二叉查找树"和"AVL树"一样，都是特殊的二叉树。在了解了"二叉查找树"和"AVL树"之后，学习伸展树是一件相当容易的事情。和以往一样，本文会先对伸展树的理论知识进行简单介绍，然后给出C语言的实现。后序再分别给出C++和Java版本的实现；这3种实现方式的原理都一样，选择其中之一进行了解即可。若文章有错误或不足的地方，希望您能不吝指出！

目录
1. 伸展树的介绍
2. 伸展树的C实现
3. 伸展树的C测试程序

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更多内容: 数据结构与算法系列 目录

(01) 伸展树(一)之 图文解析 和 C语言的实现
(02) 伸展树(二)之 C++的实现
(03) 伸展树(三)之 Java的实现

伸展树的介绍

伸展树(Splay Tree)是一种二叉排序树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。它由Daniel Sleator和Robert Tarjan创造。
(01) 伸展树属于二叉查找树，即它具有和二叉查找树一样的性质：假设x为树中的任意一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。
(02) 除了拥有二叉查找树的性质之外，伸展树还具有的一个特点是：当某个节点被访问时，伸展树会通过旋转使该节点成为树根。这样做的好处是，下次要访问该节点时，能够迅速的访问到该节点。

假设想要对一个二叉查找树执行一系列的查找操作。为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。于是想到设计一个简单方法，在每次查找之后对树进行重构，把被查找的条目搬移到离树根近一些的地方。伸展树应运而生，它是一种自调整形式的二叉查找树，它会沿着从某个节点到树根之间的路径，通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。

相比于"二叉查找树"和"AVL树"，学习伸展树时需要重点关注是"伸展树的旋转算法"。

伸展树的C实现

1. 节点定义

typedef int Type;

typedef struct SplayTreeNode {

    Type key;                        // 关键字(键值)

    struct SplayTreeNode *left;        // 左孩子

    struct SplayTreeNode *right;    // 右孩子

} Node, *SplayTree;

伸展树的节点包括的几个组成元素:
(01) key -- 是关键字，是用来对伸展树的节点进行排序的。
(02) left -- 是左孩子。
(03) right -- 是右孩子。

外部接口

// 前序遍历"伸展树"

void preorder_splaytree(SplayTree tree);

// 中序遍历"伸展树"

void inorder_splaytree(SplayTree tree);

// 后序遍历"伸展树"

void postorder_splaytree(SplayTree tree);

// (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点

Node* splaytree_search(SplayTree x, Type key);

// (非递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点

Node* iterative_splaytree_search(SplayTree x, Type key);

// 查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。

Node* splaytree_minimum(SplayTree tree);

// 查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。

Node* splaytree_maximum(SplayTree tree);

// 旋转key对应的节点为根节点。

Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key);

// 将结点插入到伸展树中，并返回根节点

Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key);

// 删除结点(key为节点的值)，并返回根节点

Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key);

// 销毁伸展树

void destroy_splaytree(SplayTree tree);

// 打印伸展树

void print_splaytree(SplayTree tree, Type key, int direction);

2. 旋转

旋转的代码

/*

 * 旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。

 *

 * 注意：

 *   (a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。

 *          将"键值为key的节点"旋转为根节点。

 *   (b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree->key。

 *      b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。

 *      b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。

 *   (c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree->key。

 *      c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。

 *      c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。

 */

Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key)

{

    Node N, *l, *r, *c;

    if (tree == NULL)

        return tree;

    N.left = N.right = NULL;

    l = r = &N;

    for (;;)

    {

        if (key < tree->key)

        {

            if (tree->left == NULL)

                break;

            if (key < tree->left->key)

            {

                c = tree->left;                           /* 01, rotate right */

                tree->left = c->right;

                c->right = tree;

                tree = c;

                if (tree->left == NULL)

                    break;

            }

            r->left = tree;                               /* 02, link right */

            r = tree;

            tree = tree->left;

        }

        else if (key > tree->key)

        {

            if (tree->right == NULL)

                break;

            if (key > tree->right->key)

            {

                c = tree->right;                          /* 03, rotate left */

                tree->right = c->left;

                c->left = tree;

                tree = c;

                if (tree->right == NULL)

                    break;

            }

            l->right = tree;                              /* 04, link left */

            l = tree;

            tree = tree->right;

        }

        else

        {

            break;

        }

    }

    l->right = tree->left;                                /* 05, assemble */

    r->left = tree->right;

    tree->left = N.right;

    tree->right = N.left;

    return tree;

}

上面的代码的作用：将"键值为key的节点"旋转为根节点，并返回根节点。它的处理情况共包括：
(a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。
        将"键值为key的节点"旋转为根节点。
(b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree->key。
        b-1) "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。
        b-2) "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。
(c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree->key。
        c-1) "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。
        c-2) "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。

下面列举个例子分别对a进行说明。

在下面的伸展树中查找10，共包括"右旋"  --> "右链接"  --> "组合"这3步。

第一步： 右旋
对应代码中的"rotate right"部分

第二步： 右链接
对应代码中的"link right"部分

第三步： 组合
对应代码中的"assemble"部分

提示：如果在上面的伸展树中查找"70"，则正好与"示例1"对称，而对应的操作则分别是"rotate left", "link left"和"assemble"。
其它的情况，例如"查找15是b-1的情况，查找5是b-2的情况"等等，这些都比较简单，大家可以自己分析。

3. 插入

/*

 * 将结点插入到伸展树中(不旋转)

 *

 * 参数说明：

 *     tree 伸展树的根结点

 *     z 插入的结点

 * 返回值：

 *     根节点

 */

static Node* splaytree_insert(SplayTree tree, Node *z)

{

    Node *y = NULL;

    Node *x = tree;

    // 查找z的插入位置

    while (x != NULL)

    {

        y = x;

        if (z->key < x->key)

            x = x->left;

        else if (z->key > x->key)

            x = x->right;

        else

        {

            printf("不允许插入相同节点(%d)!\n", z->key);

            // 释放申请的节点，并返回tree。

            free(z);

            return tree;

        }

    }

    if (y==NULL)

        tree = z;

    else if (z->key < y->key)

        y->left = z;

    else

        y->right = z;

    return tree;

}

/*

 * 创建并返回伸展树结点。

 *

 * 参数说明：

 *     key 是键值。

 *     parent 是父结点。

 *     left 是左孩子。

 *     right 是右孩子。

 */

static Node* create_splaytree_node(Type key, Node *left, Node* right)

{

    Node* p;

    if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)

        return NULL;

    p->key = key;

    p->left = left;

    p->right = right;

    return p;

}

/*

 * 新建结点(key)，然后将其插入到伸展树中，并将插入节点旋转为根节点

 *

 * 参数说明：

 *     tree 伸展树的根结点

 *     key 插入结点的键值

 * 返回值：

 *     根节点

 */

Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key)

{

    Node *z;    // 新建结点

    // 如果新建结点失败，则返回。

    if ((z=create_splaytree_node(key, NULL, NULL)) == NULL)

        return tree;

    // 插入节点

    tree = splaytree_insert(tree, z);

    // 将节点(key)旋转为根节点

    tree = splaytree_splay(tree, key);

}

外部接口: insert_splaytree(tree, key)是提供给外部的接口，它的作用是新建节点(节点的键值为key)，并将节点插入到伸展树中；然后，将该节点旋转为根节点。

内部接口: splaytree_insert(tree, z)是内部接口，它的作用是将节点z插入到tree中。splaytree_insert(tree, z)在将z插入到tree中时，仅仅只将tree当作是一棵二叉查找树，而且不允许插入相同节点。

4. 删除

删除接口

/*

 * 删除结点(key为节点的键值)，并返回根节点。

 *

 * 参数说明：

 *     tree 伸展树的根结点

 *     z 删除的结点

 * 返回值：

 *     根节点(根节点是被删除节点的前驱节点)

 *

 */

Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key)

{

    Node *x;

    if (tree == NULL)

        return NULL;

    // 查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。

    if (splaytree_search(tree, key) == NULL)

        return tree;

    // 将key对应的节点旋转为根节点。

    tree = splaytree_splay(tree, key);

    if (tree->left != NULL)

    {

        // 将"tree的前驱节点"旋转为根节点

        x = splaytree_splay(tree->left, key);

        // 移除tree节点

        x->right = tree->right;

    }

    else

        x = tree->right;

    free(tree);

    return x;

}

delete_splaytree(tree, key)的作用是：删除伸展树中键值为key的节点。
它会先在伸展树中查找键值为key的节点。若没有找到的话，则直接返回。若找到的话，则将该节点旋转为根节点，然后再删除该节点。

注意：关于伸展树的"前序遍历"、"中序遍历"、"后序遍历"、"最大值"、"最小值"、"查找"、"打印"、"销毁"等接口与"二叉查找树"基本一样，这些操作在"二叉查找树"中已经介绍过了，这里就不再单独介绍了。当然，后文给出的伸展树的完整源码中，有给出这些API的实现代码。这些接口很简单，Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！

伸展树的C实现(完整源码)

伸展树的头文件(splay_tree.h)

 #ifndef _SPLAY_TREE_H_

 #define _SPLAY_TREE_H_

 typedef int Type;

 typedef struct SplayTreeNode {

     Type key;                        // 关键字(键值)

     struct SplayTreeNode *left;        // 左孩子

     struct SplayTreeNode *right;    // 右孩子

 } Node, *SplayTree; 

 // 前序遍历"伸展树"

 void preorder_splaytree(SplayTree tree);

 // 中序遍历"伸展树"

 void inorder_splaytree(SplayTree tree);

 // 后序遍历"伸展树"

 void postorder_splaytree(SplayTree tree);

 // (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点

 Node* splaytree_search(SplayTree x, Type key);

 // (非递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点

 Node* iterative_splaytree_search(SplayTree x, Type key);

 // 查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。

 Node* splaytree_minimum(SplayTree tree);

 // 查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。

 Node* splaytree_maximum(SplayTree tree);

 // 旋转key对应的节点为根节点。

 Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key);

 // 将结点插入到伸展树中，并返回根节点

 Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key);

 // 删除结点(key为节点的值)，并返回根节点

 Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key);

 // 销毁伸展树

 void destroy_splaytree(SplayTree tree);

 // 打印伸展树

 void print_splaytree(SplayTree tree, Type key, int direction);

 #endif

伸展树的实现文件(splay_tree.c)

 /**

  * SplayTree伸展树(C语言): C语言实现的伸展树。

  *

  * @author skywang

  * @date 2014/02/03

  */

 #include <stdio.h>

 #include <stdlib.h>

 #include "splay_tree.h"

 /*

  * 前序遍历"伸展树"

  */

 void preorder_splaytree(SplayTree tree)

 {

     if(tree != NULL)

     {

         printf("%d ", tree->key);

         preorder_splaytree(tree->left);

         preorder_splaytree(tree->right);

     }

 }

 /*

  * 中序遍历"伸展树"

  */

 void inorder_splaytree(SplayTree tree)

 {

     if(tree != NULL)

     {

         inorder_splaytree(tree->left);

         printf("%d ", tree->key);

         inorder_splaytree(tree->right);

     }

 }

 /*

  * 后序遍历"伸展树"

  */

 void postorder_splaytree(SplayTree tree)

 {

     if(tree != NULL)

     {

         postorder_splaytree(tree->left);

         postorder_splaytree(tree->right);

         printf("%d ", tree->key);

     }

 }

 /*

  * (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点

  */

 Node* splaytree_search(SplayTree x, Type key)

 {

     if (x==NULL || x->key==key)

         return x;

     if (key < x->key)

         return splaytree_search(x->left, key);

     else

         return splaytree_search(x->right, key);

 }

 /*

  * (非递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点

  */

 Node* iterative_splaytree_search(SplayTree x, Type key)

 {

     while ((x!=NULL) && (x->key!=key))

     {

         if (key < x->key)

             x = x->left;

         else

             x = x->right;

     }

     return x;

 }

 /*

  * 查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。

  */

 Node* splaytree_minimum(SplayTree tree)

 {

     if (tree == NULL)

         return NULL;

     while(tree->left != NULL)

         tree = tree->left;

     return tree;

 }

 /*

  * 查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。

  */

 Node* splaytree_maximum(SplayTree tree)

 {

     if (tree == NULL)

         return NULL;

     while(tree->right != NULL)

         tree = tree->right;

     return tree;

 }

 /*

  * 旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。

  *

  * 注意：

  *   (a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。

  *          将"键值为key的节点"旋转为根节点。

  *   (b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree->key。

  *      b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。

  *      b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。

  *   (c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree->key。

  *      c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。

  *      c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。

  */

 Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key)

 {

     Node N, *l, *r, *c;

     if (tree == NULL)

         return tree;

     N.left = N.right = NULL;

     l = r = &N;

     for (;;)

     {

         if (key < tree->key)

         {

             if (tree->left == NULL)

                 break;

             if (key < tree->left->key)

             {

                 c = tree->left;                           /* 01, rotate right */

                 tree->left = c->right;

                 c->right = tree;

                 tree = c;

                 if (tree->left == NULL)

                     break;

             }

             r->left = tree;                               /* 02, link right */

             r = tree;

             tree = tree->left;

         }

         else if (key > tree->key)

         {

             if (tree->right == NULL)

                 break;

             if (key > tree->right->key)

             {

                 c = tree->right;                          /* 03, rotate left */

                 tree->right = c->left;

                 c->left = tree;

                 tree = c;

                 if (tree->right == NULL)

                     break;

             }

             l->right = tree;                              /* 04, link left */

             l = tree;

             tree = tree->right;

         }

         else

         {

             break;

         }

     }

     l->right = tree->left;                                /* 05, assemble */

     r->left = tree->right;

     tree->left = N.right;

     tree->right = N.left;

     return tree;

 }

 /*

  * 将结点插入到伸展树中(不旋转)

  *

  * 参数说明：

  *     tree 伸展树的根结点

  *     z 插入的结点

  * 返回值：

  *     根节点

  */

 static Node* splaytree_insert(SplayTree tree, Node *z)

 {

     Node *y = NULL;

     Node *x = tree;

     // 查找z的插入位置

     while (x != NULL)

     {

         y = x;

         if (z->key < x->key)

             x = x->left;

         else if (z->key > x->key)

             x = x->right;

         else

         {

             printf("不允许插入相同节点(%d)!\n", z->key);

             // 释放申请的节点，并返回tree。

             free(z);

             return tree;

         }

     }

     if (y==NULL)

         tree = z;

     else if (z->key < y->key)

         y->left = z;

     else

         y->right = z;

     return tree;

 }

 /*

  * 创建并返回伸展树结点。

  *

  * 参数说明：

  *     key 是键值。

  *     parent 是父结点。

  *     left 是左孩子。

  *     right 是右孩子。

  */

 static Node* create_splaytree_node(Type key, Node *left, Node* right)

 {

     Node* p;

     if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)

         return NULL;

     p->key = key;

     p->left = left;

     p->right = right;

     return p;

 }

 /*

  * 新建结点(key)，然后将其插入到伸展树中，并将插入节点旋转为根节点

  *

  * 参数说明：

  *     tree 伸展树的根结点

  *     key 插入结点的键值

  * 返回值：

  *     根节点

  */

 Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key)

 {

     Node *z;    // 新建结点

     // 如果新建结点失败，则返回。

     if ((z=create_splaytree_node(key, NULL, NULL)) == NULL)

         return tree;

     // 插入节点

     tree = splaytree_insert(tree, z);

     // 将节点(key)旋转为根节点

     tree = splaytree_splay(tree, key);

 }

 /*

  * 删除结点(key为节点的键值)，并返回根节点。

  *

  * 参数说明：

  *     tree 伸展树的根结点

  *     z 删除的结点

  * 返回值：

  *     根节点(根节点是被删除节点的前驱节点)

  *

  */

 Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key)

 {

     Node *x;

     if (tree == NULL)

         return NULL;

     // 查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。

     if (splaytree_search(tree, key) == NULL)

         return tree;

     // 将key对应的节点旋转为根节点。

     tree = splaytree_splay(tree, key);

     if (tree->left != NULL)

     {

         // 将"tree的前驱节点"旋转为根节点

         x = splaytree_splay(tree->left, key);

         // 移除tree节点

         x->right = tree->right;

     }

     else

         x = tree->right;

     free(tree);

     return x;

 }

 /*

  * 销毁伸展树

  */

 void destroy_splaytree(SplayTree tree)

 {

     if (tree==NULL)

         return ;

     if (tree->left != NULL)

         destroy_splaytree(tree->left);

     if (tree->right != NULL)

         destroy_splaytree(tree->right);

     free(tree);

 }

 /*

  * 打印"伸展树"

  *

  * tree       -- 伸展树的节点

  * key        -- 节点的键值

  * direction  --  0，表示该节点是根节点;

  *               -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;

  *                1，表示该节点是它的父结点的右孩子。

  */

 void print_splaytree(SplayTree tree, Type key, int direction)

 {

     if(tree != NULL)

     {

         if(direction==)    // tree是根节点

             printf("%2d is root\n", tree->key);

         else                // tree是分支节点

             printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree->key, key, direction==?"right" : "left");

         print_splaytree(tree->left, tree->key, -);

         print_splaytree(tree->right,tree->key,  );

     }

 }

伸展树的测试程序(splaytree_test.c)

 /**

  * C 语言: 伸展树测试程序

  *

  * @author skywang

  * @date 2014/02/03

  */

 #include <stdio.h>

 #include "splay_tree.h"

 static int arr[]= {,,,,,};

 #define TBL_SIZE(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )

 void main()

 {

     int i, ilen;

     SplayTree root=NULL;

     printf("== 依次添加: ");

     ilen = TBL_SIZE(arr);

     for(i=; i<ilen; i++)

     {

         printf("%d ", arr[i]);

         root = insert_splaytree(root, arr[i]);

     }

     printf("\n== 前序遍历: ");

     preorder_splaytree(root);

     printf("\n== 中序遍历: ");

     inorder_splaytree(root);

     printf("\n== 后序遍历: ");

     postorder_splaytree(root);

     printf("\n");

     printf("== 最小值: %d\n", splaytree_minimum(root)->key);

     printf("== 最大值: %d\n", splaytree_maximum(root)->key);

     printf("== 树的详细信息: \n");

     print_splaytree(root, root->key, );

     i = ;

     printf("\n== 旋转节点(%d)为根节点\n", i);

     printf("== 树的详细信息: \n");

     root = splaytree_splay(root, i);

     print_splaytree(root, root->key, );

     // 销毁伸展树

     destroy_splaytree(root);

 }

伸展树的C测试程序

伸展树的测试程序运行结果如下：

== 依次添加:

== 前序遍历:

== 中序遍历:

== 后序遍历:

== 最小值:

== 最大值:

== 树的详细信息:

 is root

 is 's   left child

 is 's   left child

 is 's   left child

 is 's  right child

 is 's   left child

== 旋转节点()为根节点

== 树的详细信息:

 is root

 is 's   left child

 is 's   left child

 is 's  right child

 is 's   left child

 is 's   left child

测试程序的主要流程是：新建伸展树，然后向伸展树中依次插入10,50,40,30,20,60。插入完毕这些数据之后，伸展树的节点是60；此时，再旋转节点，使得30成为根节点。
依次插入10,50,40,30,20,60示意图如下：

将30旋转为根节点的示意图如下：

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