树状数组

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。

树状数组和线段树很像，但能用树状数组解决的问题，基本上都能用线段树解决，而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言，树状数组效率要高很多。

C1 = A1

C2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

...

C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

通过二进制，将数组的节点序号都转化成二进制。

就是这样的:

1--->001 C1 = A1

2--->010 C2 = A1 + A2

3--->011 C3 = A3

4--->100 C4 = A1 + A2 + A3 + A4

5--->101 C5 = A5

6--->110 C6 = A5 + A6

7--->111 C7 = A7

8--->1000 C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

但是这又有什么关系呢？

这里有一个有趣的性质：

设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，

所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + A(n-2^k+2)+... + An

什么意思呢？举个栗子，1对应的二进制是001，二进制末尾0的个数为0，所以k=0，所以C1=A(1-2^k+1)+...An 就是C1=A(1-2^0+1)=A(1);

再来个栗子，4对应的二进制是100，二进制末尾0的个数为2，所以k=2，所以C4=A(4-2^2+1)+A(4-2^2+2)+...+A(4)=A(1)+A(2)+A(3)+A(4);

再搞不懂就自己再手推几个数试试就可以了。

至于怎么得出来的这个神奇的东西，就是靠二进制。

接下来就是怎么代码实现这个呢？

就是要靠神奇的lowbit了。

int lowbit(int x)

{

 return x&(-x);

}

x&(-x)就是整数x与其相反数(负号取反)的按位与:相同位的两个数字都为1，则为1；若有一个不为1，则为0，即:1&1=1,0&1=0,0&0=0;

计算机中负数使用对应正数的补码来表示。

-x就是x对应的二进制数先各位取反，0变成1，1变成0。然后最低位加1。

举个栗子，4对应二进制为100；-4对应的为011+1=100，所以为(100)&(100)所以为100。

知道这个就可以进行区间查询啦。

区间查询利用C[i]求A数组前i个的和；

//代码1：

int SUM(int n)

{

    int s=;

    while(n>){

        s+=c[n];

        n-=lowbit(n);

    }

    return s;

}

//代码2：

int SUM(int n)

{

    int s=;

    for(int i=n;i>;i-=lowbit(i))

         s+=c[i];

    return s;

}

两个代码哪个好理解就理解哪个。

接着刚刚举的栗子4，求A数组前4个数的和；

lowbit(4)得出100；然后100就是4，所以为s+=c[4];此时i=4,4-lowbit(4)=100-100=0;结束。

再举个栗子7，求前7个数的和，就是s+=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7];

因为

1--->001 C1 = A1

2--->010 C2 = A1 + A2

3--->011 C3 = A3

4--->100 C4 = A1 + A2 + A3 + A4

5--->101 C5 = A5

6--->110 C6 = A5 + A6

7--->111 C7 = A7

8--->1000 C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

所以为C[4]+C[6]+C[7];

就是C[100]+C[110]+C[111];

首先s+=c[7];

然后lowbit[7]=(111)&(001)=001;此时i=7,所以为7-lowbit(7)=111-001=110,110就是6;s+=c[6];

lowbit(6)=(110)&(010)=010;此时i=6,所以为6-lowbit(6)=110-010=100,100就是4;s+=c[4];

lowbit(4)=(100)&(100)=100;此时i=4,所以为4-lowbit(4)=100-100=0,结束。

所以得到A数组中前7个数的和为C[7]+C[6]+C[4];

不懂的话再自己手推一个数就差不多懂了。

接下来就是单点更新。

单点更新要从下往上依次更新。

//代码1:

void add(int x)

{

    while(x<=N){

        ++a[x];

        x+=lowbit(x);

    }

}

//代码2:

void add(int x,int y)

{

    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))

        c[i]+=y;

}

更新过程仔细想一想就是查询过程的逆过程；

举个栗子，更新A1,还要继续更新C[1],C[2],C[4],C[8];

就是C[001],C[010],C[100],C[1000];

i=1;C[1]+=A[1];

lowbit(1)=(001)&(001)=001;此时i=1,所以为1+lowbit(1)=001+001=010,010就是2;C[2]+=A[1];

lowbit(2)=(010)&(110)=010;此时i=2,所以为2+lowbit(2)=010+010=100,100就是4;C[4]+=A[1];

lowbit(4)=(100)&(100)=100;此时i=4,所以为4+lowbit(4)=100+100=1000,1000就是8;C[8]+=A[1];结束。

好了，理解了树状数组就开始贴代码了。(；´д｀)ゞ

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1541

题目大意：

输入n个星星坐标位置，某个星星的左下有 i 颗星星（x或y相等算数），则这个星星就是level i的，输出的内容有n行：level 0~n-1的星星个数。输入降低了难度，是按照“按Y从小到大，如果Y相同则X从小到大”的顺序输入的，这就是一维的树状数组了，因为后面坐标的出现根本不会影响前面计算完的个数。

解题思路：每次输入一个坐标就查询它的左下角有i个星星，然后ans[i]++,再将这个点加入到树中即可。

附上代码：

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

using namespace std;

#define maxn 32005

int n,x,y,c[maxn],ans[maxn];

int lowbit(int x){return x&(-x);}

int sum(int n)

{

    int sum=;

    for(int i=n;i>;i-=lowbit(i))

        sum+=c[i];

    return sum;

}

void add(int x)

{

    for(int i=x;i<=maxn;i+=lowbit(i))

        c[i]++;

}

int main()

{

    while(~scanf("%d",&n))

    {

        memset(ans,,sizeof(ans));

        memset(c,,sizeof(c));

        for(int i=;i<n;i++)

        {

            scanf("%d%d",&x,&y);

            ans[sum(x+)]++;  //坐标中有（0,0），但树状数组中没有0，故整体坐标加1

            add(x+);

        }

        for(int i=;i<n;i++)

            printf("%d\n",ans[i]);

    }

    return ;

}

巴特西

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