[SCOI2008]奖励关（期望dp）

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。

宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1 次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。

获取第 i 种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i 种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi 可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。

假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

Solution

注意到这题数据范围不大，我们可以放开了设计状态，设dp[i][j]表示正在进行第i轮掉落，目前的已拥有集合为j。

期望dp，要倒退，一个状态的期望等于他能转移的n个状态的期望平均值。

转移：枚举i和j，枚举下一个要掉落的物品

if((j&ji[l])==ji[l]) dp[i][j]+=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j|(1<<l)]+(double)p[l]);

else dp[i][j]+=dp[i-1][j];

注意到当我能选择时会有两种决策，我只会取最大的。

最后状态要除以n。

Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

using namespace std;

int k,n,p[],x,tag,ji[<<];

double dp[][<<];

double ans,num;

int main()

{

    scanf("%d%d",&k,&n);

    for(int i=;i<n;++i)

    {

        scanf("%d",&p[i]);

        while()

        {

            scanf("%d",&x);

            if(!x)break;

            ji[i]|=(<<(x-));

        }

    }

    int ma=(<<n)-;

    for(int i=;i<=k;++i)

        for(int j=;j<=ma;++j)

        {

            for(int l=;l<n;++l)

               {

                  if((j&ji[l])==ji[l])

                    dp[i][j]+=max(dp[i-][j],dp[i-][j|(<<l)]+(double)p[l]);

                  else dp[i][j]+=dp[i-][j];

               }

            dp[i][j]/=(double)n;

        }

    printf("%.6lf",dp[k][]);

    return ;

}

巴特西

[SCOI2008]奖励关（期望dp）

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