[HNOI2012]双十字

题目描述

在C 部落，双十字是非常重要的一个部落标志。所谓双十字，如下面两个例子，由两条水平的和一条竖直的”1“线段组成，要求满足以下几个限制： ![] 我们可以找到 5 个满足条件的双十字，分别如下：注意最终的结果可能很大，只要求输出双十字的个数 mod 1,000,000,009 的值·两条水平的线段不能在相邻的两行。·竖直线段上端必须严格高于两条水平线段，下端必须严格低于两条水平线段。 ·竖直线段必须将两条水平线段严格划分成相等的两半。·上方的水平线段必须严格短于下方的水平线段。所以上面右边的例子是满足要求的最小的双十字。现在给定一个 R*C的01 矩阵，要求计算出这个 01 矩阵中有多少个双十字。例如下面这个例子，R=6,C=8，01 矩阵如下：

输入输出格式

输入格式：

第一行为用空格隔开的两个正整数 R和C，分别表示01矩阵的行数和列数。输入文件第二行是一个非负整数N,表示01矩阵中”0“的个数。接下来的N行，每行为用空格隔开的两个正整数x和y(1<=x<=R,1<=y<=C)，表示(x,y)是一个”0“。数据保证N个”0“的坐标两两不同。数据保证R,C,N<=10,000,R*C<=1,000,000.(事实上R*C可能稍大于原设定)

输出格式：

D mod 1,000,000,009 的结果，其中D 为要求的 01矩阵中双十字的个数。

输入输出样例

输入样例#1：复制

输出样例#1：复制

因为10000×10000存不下，所以用编号代替坐标

首先DP求出L,R,U,D数组表示左右上下有多少个连续的1

一个点左右可拓展的长度应当是min(L,R)

枚举十字架中心在第几列

当了某一行，考虑以它作于下面一个横线的方案数

$\sum_{len=1}^{L[i]} min(L[j], len-1)×D[i]×(j-top)$

把min拆掉：

1.当len-1<=L[j],则$\sum_{len=1}^{L[i]} L[j]×D[i]×(j-top)$

2.当len-1>L[j]，则$\sum_{len=1}^{L[i]} (len-1)×D[i]×(j-top)$

可以变成：

1.当L[j]<=L[i],贡献$(L[i]-(L[j]+1)/2)×D[i]×(j-top)×L[j]$

2.当L[j]>L[i]，贡献$L[i]×(L[i]-1)/2×D[i]×(j-top)$

维护3个树状数组，分别维护：

$(j-top)$

$(j-top)*L[j]$

$(j-top)*L[j]*L[j]$

每一次碰到0或算完一列的答案要给树状数组清0

因为十字架上面的横线不能是i-1，所以考虑先算完i，再加入i-1

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<cmath>

 using namespace std;

 int mp[],U[],D[],L[],R[],n,r,c;

 int Mod=1e9+,f1[],f2[],f3[],inv2,top,ans,ed;

 int get_id(int x,int y)

 {

   return c*(x-)+y;

 }

 int qpow(int x,int y)

 {

   int res=;

   while (y)

     {

       if (y&) res=1ll*res*x%Mod;

       x=1ll*x*x%Mod;

       y>>=;

     }

   return res;

 }

 void add1(int x,int d,int N)

 {

   if (x==) return;

   while (x<=N)

     {

       f1[x]+=d;

       if (f1[x]>=Mod) f1[x]-=Mod;

       x+=x&(-x);

     }

 }

 void add2(int x,int d,int N)

 {

   if (x==) return;

   while (x<=N)

     {

       f2[x]+=d;

       if (f2[x]>=Mod) f2[x]-=Mod;

       x+=x&(-x);

     }

 }

 void add3(int x,int d,int N)

 {

   if (x==) return;

   while (x<=N)

     {

       f3[x]+=d;

       if (f3[x]>=Mod) f3[x]-=Mod;

       x+=x&(-x);

     }

 }

 int query1(int x)

 {

   int s=;

   while (x)

     {

       s+=f1[x];

       if (s>=Mod) s-=Mod;

       x-=(x&(-x));

     }

   return s;

 }

 int query2(int x)

 {

   int s=;

   while (x)

     {

       s+=f2[x];

       if (s>=Mod) s-=Mod;

       x-=(x&(-x));

     }

   return s;

 }

 int query3(int x)

 {

   int s=;

   while (x)

     {

       s+=f3[x];

       if (s>=Mod) s-=Mod;

       x-=(x&(-x));

     }

   return s;

 }

 int get_van(int x,int y,int N)

 {

   int t=L[get_id(x,y)];

   int as=;

   int s2=query2(t),s3=query3(t);

     as=(1ll*t*s2%Mod-1ll*(s3+s2)%Mod*inv2%Mod+Mod);

   if (as>=Mod) as-=Mod;

   int s1=(query1(N)-query1(t)+Mod);

   if (s1>=Mod) s1-=Mod;

   as=(as+1ll*t*(t-)%Mod*inv2%Mod*s1%Mod);

   if (as>=Mod) as-=Mod;

   return 1ll*as*D[get_id(x,y)]%Mod;

 }

 void update(int x,int y,int N)

 {

   int t=L[get_id(x,y)];

   add1(t,x-top,N);

   add2(t,1ll*(x-top)*t%Mod,N);

   add3(t,1ll*(x-top)*t%Mod*t%Mod,N);

 }

 int main()

 {int i,j,x,y,l;

   cin>>r>>c;

   cin>>n;

   inv2=qpow(,Mod-);

   memset(mp,-,sizeof(mp));

   for (i=;i<=n;i++)

     {

       scanf("%d%d",&x,&y);

       mp[get_id(x,y)]=;

     }

   for (i=;i<=r;i++)

     {

       for (j=;j<=c;j++)

     　　{

       　　if (mp[get_id(i,j)]==-)

         　　mp[get_id(i,j)]=;

     　　}

     }

   for (i=;i<=r;i++)

     {

       L[get_id(i,)]=;

       for (j=;j<=c;j++)

       if (mp[get_id(i,j-)]==&&mp[get_id(i,j)]==) L[get_id(i,j)]=L[get_id(i,j-)]+;

       else L[get_id(i,j)]=;

       R[get_id(i,c)]=;

       for (j=c-;j>=;j--)

       if (mp[get_id(i,j+)]==&&mp[get_id(i,j)]==) R[get_id(i,j)]=R[get_id(i,j+)]+;

       else R[get_id(i,j)]=;

       for (j=;j<=c;j++)

     　　L[get_id(i,j)]=min(L[get_id(i,j)],R[get_id(i,j)]);

     }

   for (j=;j<=c;j++)

     {

       U[get_id(,j)]=;

       for (i=;i<=r;i++)

     　　if (mp[get_id(i-,j)]==&&mp[get_id(i,j)]==) U[get_id(i,j)]=U[get_id(i-,j)]+;

     　　else U[get_id(i,j)]=;

       D[get_id(r,j)]=;

       for (i=r-;i>=;i--)

       if (mp[get_id(i+,j)]==&&mp[get_id(i,j)]==) D[get_id(i,j)]=D[get_id(i+,j)]+;

       else D[get_id(i,j)]=;

     }

   for (j=;j<=c;j++)

     {top=;

       ed=min(c-j,j-);

       for (l=;l<=ed;l++)

     f1[l]=f2[l]=f3[l]=;

       for (i=;i<=r;i++)

     　　{

       　　if (top==&&mp[get_id(i,j)]==) top=i;

       　　if (mp[get_id(i,j)]==&&top)

         　　{

           　　for (l=;l<=ed;l++)

         　　f1[l]=f2[l]=f3[l]=;

           　　top=;

           　　continue;

         　　}

       　　if (top==) continue;

       　　if (i==top) continue;

       　　if (i-top>=&&L[get_id(i,j)]>)

         　　{

           　　ans=ans+get_van(i,j,ed);

           　　if (ans>=Mod) ans-=Mod;

         　　}

       　　if (i-!=top&&L[get_id(i-,j)]>)

         　　update(i-,j,ed);

     　　}

     }

   cout<<ans;

 }

巴特西

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