Jacobi 矩阵

2024-04-20 04:56:15

求微分其实就是线性化，导数其实就是线性空间之间的线性变换，Jaocibian矩阵本质上就是导数。

比如，映射 $f:M\to N$ 在 $x$ 处的导数 $df_x$ 就是 $M$ 在 $x$ 处的切空间 $TM_x$ 到 $N$ 在 $f(x)$ 处的切空间 $TN_{f(x)}$ 之间的线性映射。切空间都是矢量空间，都有基底，所以这个线性变换就是矩阵。在欧氏空间子空间的开集上，切空间就是某个 $\mathbb{R}^n$ ，比如实轴上的切空间就是 $\mathbb{R}$ ，曲面上的切空间为 $\mathbb{R}^2$ 。这样一想，函数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 的导数无非就是切空间 $T\mathbb{R}_x=\mathbb{R}$ 到切空间 $T\mathbb{R}_{f(x)}=\mathbb{R}$ 的线性变换，是一个 $1\times 1$ 矩阵，同构于一个实数。

因此，Jacobian矩阵实质上就是切空间之间的基底之间的线性变换，这也是为什么积分中变换坐标时前面会乘以一个Jacobian矩阵的行列式。

作者：玟清
链接：https://www.zhihu.com/question/22586361/answer/76610395
来源：知乎
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转自：http://jacoxu.com/jacobian%E7%9F%A9%E9%98%B5%E5%92%8Chessian%E7%9F%A9%E9%98%B5/

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