【10.3校内测试【国庆七天乐！】】【DP+组合数学/容斥】【spfa多起点多终点+二进制分类】

最开始想的暴力DP是把天数作为一个维度所以怎么都没有办法优化，矩阵快速幂也是$O(n^3)$会爆炸。

但是没有想到另一个转移方程：定义$f[i][j]$表示每天都有值的$i$天，共消费出总值$j$的方案数。然后答案就是。

所以每次维护前缀和就可以$O(1)$转移了。

注意前缀和的初值。

#include<bits/stdc++.h>

#define LL long long

#define mod 998244353

using namespace std;

int n, m;

LL d;

LL dp[][], sum[][];

LL mpow(LL a, LL b) {

    LL ans = ;

    for(; b; b >>= , a = a * a % mod)

        if(b & )    ans = ans * a % mod;

    return ans;

}

LL rev(LL a) {

    return mpow(a, mod - );

}

LL comb(LL p, int q) {

    LL a = , b = ;

    for(LL i = p - q + ; i <= p; i ++)

        a = i % mod * a % mod;

    for(int i = ; i <= q; i ++)

        b = b * i % mod;

    LL ans = a * rev(b) % mod;

    return ans;

}

int main() {

    freopen("contract.in", "r", stdin);

    freopen("contract.out", "w", stdout);

    while(cin >> n >> d >> m) {

        if(n ==  && d ==  && m == )    break;

        d %= mod;

        int now = ;

        memset(sum, , sizeof(sum));

        memset(dp, , sizeof(dp));

        for(int i = ; i < m && i <= n; i ++)

            dp[][i] = ;

        for(int i = ; i <= n; i ++)

            sum[][i] = sum[][i-] + dp[][i];

        for(int i = ; i <= n && i <= d; i ++) {

            for(int j = ; j <= n; j ++) {

                if(j - m > )    dp[i][j] = (sum[i-][j-] - sum[i-][j-m] + mod) % mod;

                else dp[i][j] = sum[i-][j-];

                sum[i][j] = (sum[i][j-] + dp[i][j]) % mod;

            }

        }

        LL ans = ;

        for(int i = ; i <= n && i <= d; i ++) {

            LL tmp = comb(d, i);

            ans = (ans + tmp * dp[i][n] % mod) % mod;

        }

        printf("%lld\n", ans);

    }

    return ;

}

起点确定的最小环。

我们可以发现，因为环的起点和终点都是1，所以题目实际是找与1相连的一个起点和一个终点（因为要保证没有走重边，所以起点和终点一定不同），而对于两个不同的数，二进制位上一定有至少一位不相同，所以可以按每一位，将二进制中当前位不同的点分成两组，代表当前起点和终点，每次跑一遍多起点多终点的$Spfa$，统计最小答案即可。

【注意】不能把每次跑完得到的起点终点直接两两配对，因为两点不一定能相互到达，还是应该在$Spfa$中赋初值跑完。

#include<bits/stdc++.h>

#define oo 0x3f3f3f3f

using namespace std;

int n, m, tot;

struct Node {

    int u, v, nex, w;

    Node(int u = , int v = , int nex = , int w = ) :

        u(u), v(v), nex(nex), w(w) { }

} Edge[];

int stot, h[];

void add(int u, int v, int s) {

    Edge[++stot] = Node(u, v, h[u], s);

    h[u] = stot;

}

int vis[], dis[], S[], T[], nums, numt, W[], rt[];

queue < int > q;

void Spfa() {

    memset(vis, , sizeof(vis));

    memset(dis, 0x3f3f3f3f, sizeof(dis));

    for(int i = ; i <= nums; i ++)    q.push(S[i]), vis[S[i]] = , dis[S[i]] = W[S[i]];

    while(!q.empty()) {

        int x = q.front(); q.pop(); vis[x] = ;

        for(int i = h[x]; i; i = Edge[i].nex) {

            int v = Edge[i].v;

            if(dis[v] > dis[x] + Edge[i].w && v != ) {

                dis[v] = dis[x] + Edge[i].w;

                if(!vis[v]) {

                    vis[v] = ;    q.push(v);

                }

            }

        }

    }

}

int main() {

    freopen("leave.in", "r", stdin);

    freopen("leave.out", "w", stdout);

    int t;

    scanf("%d", &t);

    while(t --) {

        scanf("%d%d", &n, &m);

        stot = , tot = ;

        memset(h, , sizeof(h));

        memset(W, , sizeof(W));

        memset(rt, , sizeof(rt));

        int ans = 0x3f3f3f3f;

        for(int i = ; i <= m; i ++) {

            int a, b, c;

            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);

            add(a, b, c);    add(b, a, c);

            if(b < a)    swap(a, b);

            if(a == ) rt[++tot] = b, W[b] = c;

        }

        if(tot <= ) {

            printf("-1\n"); continue;

        }

        sort(rt + , rt +  + tot);

        int M = rt[tot];

        int tmp = ;

        while(M) {

            memset(S, , sizeof(S));

            memset(T, , sizeof(T));

            nums = ; numt = ;

            int t = M & ;

            for(int i = ; i <= tot; i ++)

                if(((rt[i] >> tmp) & ) == t)    S[++nums] = rt[i];

                else    T[++numt] = rt[i];

            Spfa();

            for(int i = ; i <= numt; i ++)

                ans = min(ans, W[T[i]] + dis[T[i]]);

            M >>= ; tmp ++;

        }

        if(ans < oo)    printf("%d\n", ans);

        else printf("-1\n");

    }

    return ;

}

巴特西

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