洛谷P5279 [ZJOI2019]麻将（乱搞+概率期望）

题面

题解

看着题解里一堆巨巨熟练地用着专业用语本萌新表示啥都看不懂啊……顺便\(orz\)余奶奶

我们先考虑给你一堆牌，如何判断能否胡牌

我们按花色大小排序，设\(dp_{0/1,i,j,k}\)表示是否有对子，考虑了前\(i\)种花色的牌，选了\(j\)个以\(i-1\)为开头的顺子（三个连续牌），\(k\)个以\(i\)为开头的顺子，此时能选的最大面子数。转移的话枚举以\(i+1\)为开头的顺子的个数，剩下的组成刻子（三个相同牌）就好了（加一个数字记为\(Trans\)）

那么胡牌的条件有两个，\(\exists i,j,dp_{1,n,j,k}\geq 4\)，或者记\(cnt\)为牌数\(\geq 2\)的花色数，\(cnt\geq 7\)

这个东西和\(i\)这一维关系不是很大，我们可以把它当成一个\(3\times 3\)的矩阵来转移。我们可以用一个结构体\(node\)来表示这个矩阵，并且为了维护\(dp_0\)和\(dp_1\)我们需要开两个矩阵，并且记录\(cnt\)，把这些所有都放到一个\(Mahjong\)结构体里。据说可行的\(Mahjong\)的状态只有\(3956\)个

然后期望可以转化为\(ans=\sum\limits_{i=13}^{4n}p(i)\)，其中\(p(i)\)表示摸了\(i\)张牌还不能胡的概率，所以转化为算摸了\(i\)张牌还不能胡的排列数

设\(f_{i,j,k}\)表示我们考虑了前\(i\)种花色的牌，当前\(Mahjong\)的状态为\(j\)，已经摸了\(k\)张牌的排列数是多少

转移的时候，我们枚举摸了花色\(i+1\)的张数\(z\)，那么就可以转移到\(f_{i+1,Trans(j,z),k+z}\)，乘上的系数是\((4 - org_{i + 1})^{\underline{z - org{i + 1}}} \binom{k + z - sum_{i + 1}}{z - org_{i + 1}}\) 。 \(org_i\) 表示原有的 \(13\) 张牌中花色为 \(i\) 的有几张， \(sum\) 则是 \(org\) 的前缀和，这个式子的意思就是我们需要在没被选过的 \(4 - org_{i + 1}\) 张牌中选 \(z - org_{i + 1}\) 张的排列，并且插入到之前的排列中，但前 \(13\) 张牌的顺序是固定的。

最后\(p_i\)就等于摸了\(i\)张牌不赢的排列数减去摸\(i\)张牌的排列数

//minamoto

#include<bits/stdc++.h>

#define R register

#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)

#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)

#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)

template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}

using namespace std;

const int N=105,M=4005,P=998244353;

inline void upd(R int &x,R int y){(x+=y)>=P?x-=P:0;}

inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}

inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}

inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}

int ksm(R int x,R int y){

    R int res=1;

    for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))(y&1)?res=mul(res,x):0;

    return res;

}

int C[M][5],fac[5];

void init(){

    fp(i,0,M-1){

        C[i][0]=1;

        fp(j,1,min(4,i))C[i][j]=add(C[i-1][j],C[i-1][j-1]);

    }

    fac[0]=1,fac[1]=1,fac[2]=2,fac[3]=6,fac[4]=24;

}

struct node{

    int a[3][3];

    node(){memset(a,-1,sizeof(a));}

    inline void init(){memset(a,-1,sizeof(a));}

    inline int* operator [](const int &x){return a[x];}

    bool operator <(node b)const{

        fp(i,0,2)fp(j,0,2)if(a[i][j]!=b[i][j])return a[i][j]<b[i][j];

        return 0;

    }

    bool operator ==(node b)const{

        fp(i,0,2)fp(j,0,2)if(a[i][j]!=b[i][j])return false;

        return true;

    }

    friend node Max(node a,node b){

        fp(i,0,2)fp(j,0,2)cmax(a[i][j],b[i][j]);

        return a;

    }

    friend node Trans(node a,int b){

        node res;

        fp(i,0,2)fp(j,0,2)if(~a[i][j])

            fp(k,0,min(2,b-i-j))

                cmax(res[j][k],min(a[i][j]+i+(b-i-j-k)/3,4));

        return res;

    }

};

struct Mahjong{

    node p[2];int cnt;

    Mahjong(){p[0].init(),p[1].init(),p[0][0][0]=cnt=0;}

    inline bool operator <(const Mahjong &b)const{

        return cnt==b.cnt?p[0]==b.p[0]?p[1]<b.p[1]:p[0]<b.p[0]:cnt<b.cnt;

    }

    friend Mahjong Trans(Mahjong a,int b){

        a.cnt=min(a.cnt+(b>=2),7);

        a.p[1]=Trans(a.p[1],b);

        if(b>=2)a.p[1]=Max(a.p[1],Trans(a.p[0],b-2));

        a.p[0]=Trans(a.p[0],b);

        return a;

    }

    bool right(){

        if(cnt==7)return true;

        fp(i,0,2)fp(j,0,2)if(p[1][i][j]==4)return true;

        return false;

    }

}mahjong[M];map<Mahjong,int>mp;

bool win[M];int n,tot,s[N],f[N][M][N<<2],trans[M][5];

void dfs(Mahjong now){

    if(mp.count(now))return;

    mahjong[++tot]=now,mp[now]=tot,win[tot]=now.right();

    fp(i,0,4)dfs(Trans(now,i));

}

int main(){

//	freopen("testdata.in","r",stdin);

    init(),dfs(Mahjong());

    fp(i,1,tot)fp(j,0,4)trans[i][j]=mp[Trans(mahjong[i],j)];

    scanf("%d",&n);

    for(R int i=1,x;i<=13;++i)scanf("%d%*d",&x),++s[x];

    f[0][1][0]=1;

    for(R int i=0,sum=0;i<n;++i){

        sum+=s[i+1];

        fp(j,1,tot)fp(l,s[i+1],4){

            int *nf=f[i+1][trans[j][l]],*now=f[i][j];

            int tmp=mul(C[4-s[i+1]][l-s[i+1]],fac[l-s[i+1]]);

            fp(k,0,(n<<2)-l)if(now[k])

                upd(nf[k+l],mul(now[k],mul(C[k+l-sum][l-s[i+1]],tmp)));

        }

    }

    int ans=0;

    for(R int i=13,res=1,up;i<=(n<<2);++i){

        up=0;

        fp(j,1,tot)if(!win[j])upd(up,f[n][j][i]);

        upd(ans,mul(up,ksm(res,P-2))),res=mul(res,(n<<2)-i);

    }

    printf("%d\n",ans);

    return 0;

}

巴特西

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