最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法

原文链接：http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html

最后边附有我根据文中Dijkstra算法的描述使用java写的算法实现。

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

执行动画过程如下图

3.算法代码实现：

const int  MAXINT = 32767;

const int MAXNUM = 10;

int dist[MAXNUM];

int prev[MAXNUM];

int A[MAXUNM][MAXNUM];

void Dijkstra(int v0)

{

  　　bool S[MAXNUM];                                  // 判断是否已存入该点到S集合中

      int n=MAXNUM;

  　　for(int i=1; i<=n; ++i)

 　　 {

      　　dist[i] = A[v0][i];

      　　S[i] = false;                                // 初始都未用过该点

      　　if(dist[i] == MAXINT)

            　　prev[i] = -1;

 　　     else

            　　prev[i] = v0;

   　　}

   　 dist[v0] = 0;

   　 S[v0] = true; 　　

 　　 for(int i=2; i<=n; i++)

 　　 {

       　　int mindist = MAXINT;

       　　int u = v0; 　　                            // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值

      　　 for(int j=1; j<=n; ++j)

      　　    if((!S[j]) && dist[j]<mindist)

      　　    {

         　　       u = j;                             // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码

         　 　      mindist = dist[j];

       　　   }

       　　S[u] = true;

       　　for(int j=1; j<=n; j++)

       　　    if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)

       　　    {

           　    　if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径

           　    　{

                   　　dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist

                   　　prev[j] = u;                    //记录前驱顶点

            　　    }

        　    　}

   　　}

}

4.算法实例

先给出一个无向图

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

Floyd算法

1.定义概览

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N³)，空间复杂度为O(N²)。

2.算法描述

1)算法思想原理：

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法

方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角如下所示

给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点

相应计算方法如下：

最后A₃即为所求结果

3.算法代码实现

typedef struct

{

    char vertex[VertexNum];                                //顶点表

    int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表

    int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数

}MGraph;


void Floyd(MGraph g)

{

 　　int A[MAXV][MAXV];

 　　int path[MAXV][MAXV];

 　　int i,j,k,n=g.n;

 　　for(i=0;i<n;i++)

    　　for(j=0;j<n;j++)

    　　{ 　　

             A[i][j]=g.edges[i][j];

         　　 path[i][j]=-1;

     　 }

 　　for(k=0;k<n;k++)

 　　{

      　　for(i=0;i<n;i++)

         　　for(j=0;j<n;j++)

             　　if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))

             　　{
                   　　A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];

                   　　path[i][j]=k;

              　 }

    　} 
}

算法时间复杂度:O(n³)

前面是原文使用C语言的实现，我根据描述使用java实现了Dijkstra算法，已测试正确：

package test2;

import java.util.ArrayList;

import java.util.Arrays;

import java.util.HashSet;

import java.util.List;

import java.util.Set;

public class RouteCaculateTest {

    public static void main(String[] args) {

        Set<Point> set = new HashSet<Point>();

        Point[] points = new Point[6];

        Route[] routs = new Route[9];

        init(points, routs);

        Point start = points[0];    //最短路径起始点

        start.sPoints = new Point[]{start};

        start.sLens = new int[]{0};

        deal(start, routs, set);

        System.out.println(points[3]);    //计算结束后，每一个节点中的points就是该节点到起始点的最短路径

        String deepToString = Arrays.deepToString(points);

        System.out.println(deepToString);

    }

    //回调遍历处理每一个节点

    private static void deal(Point curr, Route[] routs, Set<Point> set) {

        set.add(curr);

        List<Point> list = new ArrayList<Point>();

        for(Route rout : routs){

            if(rout.p1 == curr && !set.contains(rout.p2)){

                rout.p2.caculate(curr, rout.length);

                list.add(rout.p2);

            }else if(rout.p2 == curr && !set.contains(rout.p1)){

                rout.p1.caculate(curr, rout.length);

                list.add(rout.p1);

            }

        }

        for(Point p : list){

            deal(p, routs, set);

        }

    }

    //构建节点和路径

    static void init(Point[] points, Route[] routs){

        for(int i = 0; i < 6; i++){

            points[i] = new Point(i + 1);

        }

        routs[0] = new Route(points[0], points[1], 7);

        routs[1] = new Route(points[0], points[2], 9);

        routs[2] = new Route(points[0], points[5], 14);

        routs[3] = new Route(points[1], points[2], 10);

        routs[4] = new Route(points[1], points[3], 15);

        routs[5] = new Route(points[2], points[5], 2);

        routs[6] = new Route(points[2], points[3], 11);

        routs[7] = new Route(points[3], points[4], 6);

        routs[8] = new Route(points[4], points[5], 9);

    }

}

class Route{

    Point p1;

    Point p2;

    int length;

    public Route(Point p1, Point p2, int length){

        this.p1 = p1;

        this.p2 = p2;

        this.length = length;

    }

}

class Point{

    Point[] sPoints = null;

    int[] sLens = null;

    public Point(int index){

        this.index = index;

    }

    public void caculate(Point lastP, int length) {

        int old = Integer.MAX_VALUE;

        if(sLens != null){

            old = 0;

            for(int len : sLens){

                old += len;

            }

        }

        int nLen = 0;

        for(int len : lastP.sLens){

            nLen += len;

        }

        nLen += length;

        if(nLen < old){

            this.sPoints = new Point[lastP.sPoints.length + 1];

            System.arraycopy(lastP.sPoints, 0, this.sPoints, 0, lastP.sPoints.length);

            this.sPoints[this.sPoints.length - 1] = this;

            this.sLens = new int[lastP.sLens.length + 1];

            System.arraycopy(lastP.sLens, 0, this.sLens, 0, lastP.sLens.length);

            this.sLens[this.sLens.length - 1] = length;

        }

    }

    private int index = -1;

    @Override

    public String toString() {

        String pointIndexs = "[";

        for(Point p : sPoints){

            pointIndexs += p.index + ",";

        }

        pointIndexs = pointIndexs.substring(0, pointIndexs.length() - 1);

        pointIndexs += "]";

        int tt = 0;

        for(int len : sLens){

            tt += len;

        }

        String lenText = Arrays.toString(sLens) + "(total:" + tt + ")";

        return "index:" + index + "; path:" + pointIndexs + "; length:" + lenText;

    }

}

巴特西

最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法

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