BZOJ3994 约数个数和

3994: [SDOI2015]约数个数和

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Description

设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求

Input

输入文件包含多组测试数据。

第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。

接下来的T行，每行两个整数N、M。

Output

T行，每行一个整数，表示你所求的答案。

Sample Input

2
7 4
5 6

Sample Output

110
121

HINT

1<=N, M<=50000

1<=T<=50000

结论题丧心病狂系列

其实看到这道题，我们发现最大的难点就是如何求\( d(nm) \)

暂且不说为什么，我们欣赏一下这个式子\[ d(nm)=\sum_{i \mid n}\sum_{j \mid m}\lbrack gcd(i,j)=1 \rbrack \]

其实我刚看到的时候是拒绝的，什么鬼啊？？？！！！

然后我们抛开这个式子，来分析一下某个质数\(p\)对答案的贡献

若\( n=n’ \times p^{k_{1}} \)， \( m=m’ \times p^{k_{2}} \)

则贡献为\( k_{1}+k_{2}+1 \)

然后我们观察开始给出的式子，发现一个素数对答案有贡献的还是\( (p^{k_{1}},1),(p^{k_{1}-1},1) \cdots (1,1) \cdots (1,p^{k_{2}-1}),(1,p^{k_{2}}) \)这\( k_{1}+k_{2}+1 \)个

所以我们证明了这个结论的成立。

接下来是莫比乌斯反演的正常推导

最终形式为\[ \sum_{g=1}^{N}\mu(g)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{N}{g} \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{M}{g} \rfloor}\lfloor \frac{N}{ig} \rfloor\lfloor \frac{M}{jg} \rfloor \]

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 template <class _T> inline void read(_T &_x) {

     int _t; bool flag = false;

     while ((_t = getchar()) != '-' && (_t < '' || _t > '')) ;

     if (_t == '-') _t = getchar(), flag = true; _x = _t - '';

     while ((_t = getchar()) >= '' && _t <= '') _x = _x *  + _t - '';

     if (flag) _x = -_x;

 }

 typedef long long LL;

 const int maxn = ;

 int f[maxn], mu[maxn], prime[maxn], pcnt;

 bool vis[maxn];

 inline int calc_f(int n) {

     int ret = ;

     for (int i = , j, t; i <= n; i = j + ) {

         t = n / i, j = n / t;

         ret += t * (j - i + );

     }

     return ret;

 }

 inline void init() {

     mu[] = ;

     for (int i = ; i < maxn; ++i) {

         if (!vis[i]) {

             prime[++pcnt] = i;

             mu[i] = -;

         }

         for (int j = ; j <= pcnt && prime[j] * i < maxn; ++j) {

             vis[prime[j] * i] = true;

             if (i % prime[j] == ) {

                 mu[prime[j] * i] = ;

                 break;

             }

             mu[prime[j] * i] = -mu[i];

         }

     }

     for (int i = ; i < maxn; ++i) {

         mu[i] += mu[i - ];

         f[i] = calc_f(i);

     }

 }

 inline LL calc(int n, int m) {

     if (n > m) swap(n, m);

     LL ret = ;

     for (int i = , j, t1, t2; i <= n; i = j + ) {

         t1 = n / i, t2 = m / i, j = min(n / t1, m / t2);

         ret += (mu[j] - mu[i - ]) * ((LL)f[t1] * f[t2]);

     }

     return ret;

 }

 int n, m;

 int main() {

     //freopen(".in", "r", stdin);

     //freopen(".out", "w", stdout);

     init();

     int T; read(T);

     while (T--) {

         read(n), read(m);

         printf("%lld\n", calc(n, m));

     }

     return ;

 }

巴特西