BZOJ 3083: 遥远的国度 dfs序,树链剖分,倍增

今天再做一天树的题目，明天要开始专攻图论了。做图论十几天之后再把字符串搞搞，区域赛前再把计几看看。

3083: 遥远的国度

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描述
zcwwzdjn在追杀十分sb的zhx，而zhx逃入了一个遥远的国度。当zcwwzdjn准备进入遥远的国度继续追杀时，守护神RapiD阻拦了zcwwzdjn的去路，他需要zcwwzdjn完成任务后才能进入遥远的国度继续追杀。

问题是这样的：遥远的国度有n个城市，这些城市之间由一些路连接且这些城市构成了一颗树。这个国度有一个首都，我们可以把这个首都看做整棵树的根，但遥远的国度比较奇怪，首都是随时有可能变为另外一个城市的。遥远的国度的每个城市有一个防御值，有些时候RapiD会使得某两个城市之间的路径上的所有城市的防御值都变为某个值。RapiD想知道在某个时候，如果把首都看做整棵树的根的话，那么以某个城市为根的子树的所有城市的防御值最小是多少。由于RapiD无法解决这个问题，所以他拦住了zcwwzdjn希望他能帮忙。但zcwwzdjn还要追杀sb的zhx，所以这个重大的问题就被转交到了你的手上。

Input

第1行两个整数n m，代表城市个数和操作数。
第2行至第n行，每行两个整数 u v，代表城市u和城市v之间有一条路。
第n+1行，有n个整数，代表所有点的初始防御值。
第n+2行一个整数 id，代表初始的首都为id。
第n+3行至第n+m+2行，首先有一个整数opt，如果opt=1，接下来有一个整数id，代表把首都修改为id；如果opt=2，接下来有三个整数p1 p2 v，代表将p1 p2路径上的所有城市的防御值修改为v；如果opt=3，接下来有一个整数 id，代表询问以城市id为根的子树中的最小防御值。

Output

对于每个opt=3的操作，输出一行代表对应子树的最小点权值。

分析：

　　考虑到询问的是子树的最小点权值，我们想到用dfs序维护，对于树链上的操作却无能为力。而树链上的操作可以用树链剖分，但是对于子树信息的维护却无能为力了。

　　所以我们可以先进行树链剖分，剖分完了之后，由于需要维护子树的信息，所以计算dfs序时跟树链剖分一样，先访问完重链，然后再访问轻链上的节点，标记dfs序。

　　对于换根操作怎么办？

　　换根操作其实只与询问操作相关。假设当前节点为x，根为root，如果x==root，直接询问整棵线段树。

　　否则，我们先倍增求lca(x,root)。（我们使用下图说明）。如果不等的话，其实根在x的上方，跟普通的树链剖分的新型lca求法一样求得答案。

　　如果lca等于x的话，即root = C，x = A。这时以x为根的子树其实就是整棵树不包含以节点B（实际上的根最靠近节点x的祖先）为根的子树的部分。对应的dfs序就是[ 1,st[b]-1 ] , [ ed[b]+1,2*n ]。所以我们先求得root的第dep[root]-dep[x]-1个祖先是谁y，然后用整个区间减掉y所对应的区间，就是询问的区间。

　　这是，进入某个节点的时间戳其实就是一个连续的区间。为了方便，出去时的时间戳在线段树中需要置为-1，更新时直接忽略他。

具体看代码吧。

#include <set>

#include <map>

#include <list>

#include <cmath>

#include <queue>

#include <stack>

#include <string>

#include <vector>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <iostream>

#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

typedef unsigned long long ull;

#define debug puts("here")

#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;i++)

#define rep1(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)

#define REP(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)

#define foreach(i,vec) for(unsigned i=0;i<vec.size();i++)

#define pb push_back

#define RD(n) scanf("%d",&n)

#define RD2(x,y) scanf("%d%d",&x,&y)

#define RD3(x,y,z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)

#define RD4(x,y,z,w) scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&z,&w)

#define All(vec) vec.begin(),vec.end()

#define MP make_pair

#define PII pair<int,int>

#define PQ priority_queue

#define cmax(x,y) x = max(x,y)

#define cmin(x,y) x = min(x,y)

#define Clear(x) memset(x,0,sizeof(x))

/*

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")

int size = 256 << 20; // 256MB

char *p = (char*)malloc(size) + size;

__asm__("movl %0, %%esp\n" :: "r"(p) );

*/

/******** program ********************/

char op,s[12];

int tp;

inline void Int(int &x){

    while( !isdigit(op=getchar()) );

    x = op-'0';

    while( isdigit(op=getchar()) )

        x = x*10+op-'0';

}

inline void LL(ll &x){

    while( !isdigit(op=getchar()) );

    x = op-'0';

    while( isdigit(op=getchar()) )

        x = x*10+op-'0';

}

inline void Out(ll x){

    s[0] = '0';

    tp = 0;

    while(x){

        s[tp++] = x%10+'0';

        x /= 10;

    }

    for(int i=tp-1;i>=0;i--)

        putchar(s[i]);

    puts("");

}

const int MAXN = 200005;

const int LOG = 17;

const ll INF = 1e15;

int p[MAXN][18];

int son[MAXN],sz[MAXN],dep[MAXN],fa[MAXN],top[MAXN],tim;

bool use[MAXN];

int st[MAXN],ed[MAXN];

int po[MAXN],tol;

ll def[MAXN],val[MAXN];

int n,m;

struct Edge{

    int y,next;

}edge[MAXN<<1];

inline void add(int x,int y){

    edge[++tol].y = y;

    edge[tol].next = po[x];

    po[x] = tol;

}

// 树链剖分

void dfsFind(int x,int pa,int depth){

    p[x][0] = pa;

    rep1(i,LOG)

        p[x][i] = p[ p[x][i-1] ][i-1];

    son[x] = 0;

    sz[x] = 1;

    dep[x] = depth;

    fa[x] = pa;

    for(int i=po[x];i;i=edge[i].next){

        int y = edge[i].y;

        if(y==pa)continue;

        dfsFind(y,x,depth+1);

        sz[x] += sz[y];

        if(sz[y]>sz[son[x]])

            son[x] = y;

    }

}

void dfsCon(int x,int pa){

    use[x] = true;

    top[x] = pa;

    st[x] = ++ tim; // 记录进入时的时间戳

    if(son[x])dfsCon(son[x],pa);

    for(int i=po[x];i;i=edge[i].next){

        int y = edge[i].y;

        if(!use[y])dfsCon(y,y);

    }

    ed[x] = ++ tim; // 记录出去时的时间戳

}

// 倍增部分

inline int kth(int x,int k){ // 第k个祖先

    rep(i,LOG)

        if( k>>i & 1 )

            x = p[x][i];

    return x;

}

inline int lca(int x,int y){

    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);

    if(dep[x]<dep[y]){

        int del = dep[y]-dep[x];

        rep(i,LOG)

            if( del>>i & 1 )

                y = p[y][i];

    }

    if(x!=y){

        for(int i=LOG-1;i>=0;i--)

            if(p[x][i]!=p[y][i])

                x = p[x][i] , y = p[y][i];

        x = p[x][0] , y = p[y][0];

    }

    return x;

}

// 线段树部分

struct segTree{

    int l,r;

    ll mx,lz;

    inline int mid(){

        return (l+r)>>1;

    }

    void out(){

        cout<<l<<" "<<r<<" "<<mx<<" "<<lz<<endl;

    }

}tree[MAXN<<2];

inline void push(int rt){

    if(tree[rt].lz){

        tree[rt].mx = tree[rt].lz;

        tree[rt<<1].lz = tree[rt].lz;

        tree[rt<<1].mx = tree[rt].lz;

        tree[rt<<1|1].lz = tree[rt].lz;

        tree[rt<<1|1].mx = tree[rt].lz;

        tree[rt].lz = 0;

    }

}

inline void update(segTree &now,segTree l,segTree r){

    if( ~l.mx ){

        if(~r.mx)now.mx = min(l.mx,r.mx);

        else now.mx = l.mx;

    }else if(~r.mx)now.mx = r.mx;

    else now.mx = INF;

}

void build(int l,int r,int rt){

    tree[rt].l = l;

    tree[rt].r = r;

    tree[rt].lz = 0;

    tree[rt].mx = INF;

    if(l==r)return;

    int mid = tree[rt].mid();

    build(l,mid,rt<<1);

    build(mid+1,r,rt<<1|1);

    //update(tree[rt],tree[rt<<1],tree[rt<<1|1]);

}

void modify(int l,int r,ll c,int rt){

    if(l<=tree[rt].l&&tree[rt].r<=r){

        tree[rt].lz = tree[rt].mx = c;

        return;

    }

    push(rt);

    int mid = tree[rt].mid();

    if(r<=mid)modify(l,r,c,rt<<1);

    else if(l>mid)modify(l,r,c,rt<<1|1);

    else{

        modify(l,r,c,rt<<1);

        modify(l,r,c,rt<<1|1);

    }

    update(tree[rt],tree[rt<<1],tree[rt<<1|1]);

}

ll ask(int l,int r,int rt){

    if(l<=tree[rt].l&&tree[rt].r<=r){

        if(~tree[rt].mx)

            return tree[rt].mx;

        return INF;

    }

    push(rt);

    int mid = tree[rt].mid();

    ll ans;

    if(r<=mid)ans = ask(l,r,rt<<1);

    else if(l>mid)ans = ask(l,r,rt<<1|1);

    else

        ans = min(ask(l,r,rt<<1),ask(l,r,rt<<1|1));

    update(tree[rt],tree[rt<<1],tree[rt<<1|1]);

    return ans;

}

// 修改时修改的节点均为进入节点时的时间戳

inline void modify(int x,int y,int w){

    while(top[x]!=top[y]){

        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])

            swap(x,y);

        modify( st[top[x]],st[x],w,1 );

        x = fa[top[x]];

    }

    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);

    modify(st[x],st[y],w,1);

}

int root;

inline ll ask(int x){

    if(x==root)return ask(1,n*2,1);

    int ca = lca(x,root);

    if(ca!=x)return ask(st[x],ed[x],1);

    int y; // 根最靠近x的祖先

    if(fa[root]==x)y = root;

    else y = kth(root,dep[root]-dep[x]-1);

    ll ans = INF; // 去掉某个区间就是询问的区间

    if(1<=st[y]-1)ans = min(ans,ask(1,st[y]-1,1));

    if(2*n>=ed[y]+1)ans = min(ans,ask(ed[y]+1,2*n,1));

    return ans;

}

int main(){

#ifndef ONLINE_JUDGE

    freopen("sum.in","r",stdin);

    //freopen("sum.out","w",stdout);

#endif

    int x,y,op;

    ll w;

    while(~RD2(n,m)){

        Clear(po);

        tol = 0;

        REP(i,2,n){

            Int(x);Int(y);

            add(x,y);

            add(y,x);

        }

        rep1(i,n)

            LL(def[i]);

        Int(root);

        // 树链剖分

        dfsFind(1,1,1);

        Clear(use);

        tim = 0;

        dfsCon(1,1);

        // 建树

        build(1,2*n,1);

        rep1(i,n)

            modify(st[i],st[i],def[i],1);

        rep1(i,n)

            modify(ed[i],ed[i],-1,1); // 出去时的时间戳

        while(m--){

            Int(op);

            if(op==1)Int(root);

            else if(op==2){

                Int(x);Int(y);LL(w);

                modify(x,y,w);

            }else{

                Int(x);

                Out(ask(x));

            }

        }

    }

    return 0;

}

巴特西

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3083: 遥远的国度

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