Floyd-Warshall算法，简称Floyd算法

Floyd-Warshall算法，简称Floyd算法，用于求解任意两点间的最短距离，时间复杂度为O(n^3)。

使用条件&范围
通常可以在任何图中使用，包括有向图、带负权边的图。

Floyd-Warshall 算法用来找出每对点之间的最短距离。它需要用邻接矩阵来储存边，这个算法通过考虑最佳子路径来得到最佳路径。

1.注意单独一条边的路径也不一定是最佳路径。
2.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，或者无穷大，如果两点之间没有边相连。
对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。
3.不可思议的是，只要按排适当，就能得到结果。
伪代码:

// dist(i,j) 为从节点i到节点j的最短距离

For i←1 to n do

   For j←1 to n do

      dist(i,j) = weight(i,j)

 

For k←1 to n do // k为“媒介节点”

   For i←1 to n do

      For j←1 to n do

         if (dist(i,k) + dist(k,j) < dist(i,j)) then // 是否是更短的路径？

            dist(i,j) = dist(i,k) + dist(k,j)

我们平时所见的Floyd算法的一般形式如下：

void Floyd(){

     int i,j,k;

     for(k=1;k<=n;k++)

         for(i=1;i<=n;i++)

             for(j=1;j<=n;j++)

                 if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])

                     dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];

}

注意下第6行这个地方，如果dist[i][k]或者dist[k][j]不存在，程序中用一个很大的数代替。最好写成if(dist[i] [k]!=INF && dist[k][j]!=INF && dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])，从而防止溢出所造成的错误。< p="">

Floyd算法的实现以及输出最短路径和最短路径长度。

代码说明几点：

1、A[][]数组初始化为各顶点间的原本距离，最后存储各顶点间的最短距离。

2、path[][]数组保存最短路径，与当前迭代的次数有关。初始化都为-1，表示没有中间顶点。在求A[i][j]过程中，path[i][j]存放从顶点vi到顶点vj的中间顶点编号不大于k的最短路径上前一个结点的编号。在算法结束时，由二维数组path的值回溯，可以得到从顶点vi到顶点vj的最短路径。

完整代码如下：

#include <iostream>

#include <string>

#include <stdio.h>

using namespace std;

#define MaxVertexNum 100

#define INF 32767

typedef struct

{

    char vertex[MaxVertexNum];

    int edges[MaxVertexNum][MaxVertexNum];

    int n,e;

}MGraph;

 

void CreateMGraph(MGraph &G)

{

    int i,j,k,p;

    cout<<"请输入顶点数和边数:";

    cin>>G.n>>G.e;

    cout<<"请输入顶点元素:";

    for (i=0;i<G.n;i++)

    {

        cin>>G.vertex[i];

    }

    for (i=0;i<G.n;i++)

    {

        for (j=0;j<G.n;j++)

        {

            G.edges[i][j]=INF;

            if (i==j)

            {

                G.edges[i][j]=0;

            }

        }

    }

    for (k=0;k<G.e;k++)

    {

        cout<<"请输入第"<<k+1<<"条弧头弧尾序号和相应的权值:";

        cin>>i>>j>>p;

        G.edges[i][j]=p;

    }

}

void Dispath(int A[][MaxVertexNum],int path[][MaxVertexNum],int n);

 

void Floyd(MGraph G)

{

	int A[MaxVertexNum][MaxVertexNum],path[MaxVertexNum][MaxVertexNum];

	int i,j,k;

	for (i=0;i<G.n;i++)

	{

		for (j=0;j<G.n;j++)

		{

			A[i][j]=G.edges[i][j];

			path[i][j]=-1;

		}

	}

	for (k=0;k<G.n;k++)

	{

		for (i=0;i<G.n;i++)

		{

			for (j=0;j<G.n;j++)

			{

				if (A[i][j]>A[i][k]+A[k][j])

				{

					A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];

					path[i][j]=k;

				}

			}

		}

	}

	Dispath(A,path,G.n);

}

 

void Ppath(int path[][MaxVertexNum],int i,int j)

{

	int k;

	k=path[i][j];

	if (k==-1)

	{

		return;

	}

	Ppath(path,i,k);

	printf("%d,",k);

	Ppath(path,k,j);

}

 

void Dispath(int A[][MaxVertexNum],int path[][MaxVertexNum],int n)

{

	int i,j;

	for (i=0;i<n;i++)

	{

		for (j=0;j<n;j++)

		{

			if (A[i][j]==INF)

			{

				if (i!=j)

				{

					printf("从%d到%d没有路径\n",i,j);

				}

			}

			else

			{

				printf("  从%d到%d=>路径长度:%d路径:",i,j,A[i][j]);

				printf("%d,",i);

				Ppath(path,i,j);

				printf("%d\n",j);

			}

		}

	}

}

 

int main()

{

	freopen("input2.txt", "r", stdin);

	MGraph G;

	CreateMGraph(G);

	Floyd(G);

	return 0;

}

巴特西

Floyd-Warshall算法，简称Floyd算法

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